第二十四章首日競賽
2009年，適逢國際數(shù)學(xué)奧林匹克IMO舉辦50屆，國際數(shù)學(xué)奧林匹克委員會(huì)舉行了50周年慶典活動(dòng)。
在這場50周年慶典，出現(xiàn)了很多聞名世界的數(shù)學(xué)家。
慶典結(jié)束后，則是正式比賽，來自全球105個(gè)國家和地區(qū)的近560名學(xué)生將參加本屆比賽。
整個(gè)比賽持續(xù)一周時(shí)間。
比賽選手將在這為期一周的時(shí)間內(nèi)攻克數(shù)學(xué)難題，爭奪數(shù)學(xué)奧林匹克的金銀銅牌。每個(gè)國家的參賽選手，都抱著為國爭光的決心前來征戰(zhàn)世界。
3月15日，競賽拉開帷幕
IMO一共六道題，今天考三題，明天考三題，每題7分，滿分是42分。每個(gè)競賽日的競賽時(shí)間為4.5個(gè)小時(shí)，可攜帶任何文具及作圖工具，一切電子設(shè)備不被允許帶入賽場。
因?yàn)楦傎悤r(shí)間較長，各選手可自帶食物飲料進(jìn)場，可并攜帶不多于三本的參考資料。
但是秦元清除了帶了一些吃喝的，其他參考資料一本沒帶，因?yàn)榘凑找郧暗那闆r，參考資料基本上沒有什么用的，出題人早已考慮到這些，要是參考資料能夠找到解決辦法，說明出題人的出題水平太爛了。
這就如同國內(nèi)考試，開卷考往往比閉卷考難得多。
因?yàn)楸緡x手拿到題目，都已經(jīng)是換成本國文字，所以選手拿到試卷，都不會(huì)存在任何語言文字的障礙。
秦元清拿到試卷，只有三題，第一題是最簡單的，要是連第一題都不會(huì)做，那么后面兩題都不用考慮了。
秦元清很冷靜，第一道題最簡單，是送分題，可是同樣的，一不小心就變成了送命題。
“1、n是一個(gè)正整數(shù)，a1，a2.....ak（k≥2）是{1，2，......，n}中的不同整數(shù)，并且n|ai（ai+1-1）對于所有i=1，2，.......，k-1都成立，證明：ak（a1-1）不能被n整除?！?br/>
秦元清看了三遍題目，心中暗罵一下提供這題的人以后生孩子沒屁眼，竟然暗設(shè)陷阱，一個(gè)不小心就會(huì)答錯(cuò)掉。
秦元清開始作答，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意的整數(shù)i（2≤i≤k），都有被整除，得出當(dāng)i=2時(shí)，由已知得能被乘除的結(jié)論成立。一步步以此展開，最后得出，ak（a1-1）不能被n整除的結(jié)論。
然后秦元清又看向第二道題。
“△ABC外接圓的圓心為O，P、Q分別在線段CA、AB上，K、L、M分別是BP、CQ、PQ的中點(diǎn)，圓Г過K、L、M并且與PQ相切。證明：OP=OQ。”
秦元清這一題審題完成，倒是覺得這一題比上一題容易一些，沒有設(shè)陷阱。先是做了一個(gè)圓，然后化作△ABC，然后又作出CA、AB線段以及P、Q二點(diǎn)，然后標(biāo)出BP、CQ、PQ的中點(diǎn)K、L、M。最后作出圓Г。
隨后以直線PQ與圓Г相切，相切點(diǎn)M，然后通過弦切角定理得出∠QMK=∠MLK。由于點(diǎn)K、M分別是BP、PQ的中點(diǎn)，所以KM∥BQ，從而得出∠QMK=∠AQP。
因此得到∠MLK=∠AQP。
同理，∠MKL=∠APQ。
根據(jù)角的相等，得到△MKL∽△APO，從而得到MK/ML=AP/AQ
因?yàn)镵、L、M分別是線段BP、CQ、PQ的中點(diǎn)，所以得到KM=BQ/2，LM=CP/2，將此帶入上式得BQ/CP=AP/AQ，將式子轉(zhuǎn)為AP·CP=AQ·BQ。通過圓冪定理知OP2=OA2-AP·CP=OA2-AQ·BQ=OQ2
所以，得出結(jié)論OP=OQ。
秦元清連檢查都沒有檢查，將抽向的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)為圖像，這個(gè)是他擅長的地方，他有十全的把握證明。
緊接著秦元清看向第三題，“3、S1，S2，S3，......是嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列，并且它的子數(shù)列SS1、SS2、SS3，.....和SS1+1，SS2+1，SS3+1......都是等差數(shù)列。證明：S1，S2，S3......是一個(gè)等差數(shù)列?！?br/>
看著這一題，秦元清微皺起眉頭，這一題明顯比前面兩道題難得多，秦元清將已知條件稍微捋了一下，這一道題融合了等差數(shù)列、以及轉(zhuǎn)換法。
秦元清一步一步地展開，通過數(shù)列以及子數(shù)列都是嚴(yán)格的遞增的正整數(shù)數(shù)列，設(shè)Ssk=a+（k-1）d1，SSk+1=b+（k-1）d2（k=1，2......，a、b、d1、d2∈N+）。
將問題轉(zhuǎn)為函數(shù)、數(shù)列后，以Sk